Das equac. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraneo e colonial. A quantidade de material empregado em cada tipo de casa e dada pela matriz:. Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo. Mediterr aneo 7 18 12 9 Col onial 6 25 8 5 Qualquer semelhanca dos n umeros com a realidade e mera coincidencia. Qual e o preco unitario de cada tipo de casa? Pela matriz a quantidade de materiais de uma casa moderna e igual a 65 soma dos elementos da primeira linha.
De uma casa mediterranea 67 soma dos elementos da segunda linha e de uma casa colonial 57 soma dos elementos da terceira linha. Logo serao utilizadas unidades de materiais. Uma rede de comunicac ao tem cinco locais com transmissores de potencias distintas.
Observe que a diagonal principal e nula significando que uma estacao nao transmite diretamente para si mesma. Isto significa que a estacao 4 transmite para a estac ao 2 atraves de uma transmissao pela estacao 3, embora nao exista uma transmiss ao direta de 4 para 2.
Solucao de a: Soluc ao retirada da lista da Professora. Solucao de b: Soluc ao retirada da lista da Professora. Solucao de c: Soluc ao retirada da lista da Professora. Cada elemento de A2 representa o n umero de modos que uma estacao trans mite para uma outra atraves de uma terceira estac ao.
Solucao de d: Soluc ao retirada da lista da Professora. Cada elemento de A3 representa o n umero de modos que uma estacao transmite para uma outra atraves de uma quarta estac ao.
Veja: O elemento 25 indica que h a 2 maneiras de se transmitir da estacao 1 para a estacao 2 atraves de uma quarta estac ao: e Veja: Experimente listar as maneiras de se transmitir da estacao 3 para a estacao 5 considerando transmiss oes diretas, atraves de uma terceira e atraves de uma quarta.
Existem tres marcas de autom oveis disponveis no mercado: o Jacare, o Piranha e o Urubu. O termo aij da matriz A abaixo e a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo.
Para J P U. Os termos da diagonal de d ao a probabilidade aii de se comprar um carro novo da mesma marca. A2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas com- pras. Voce pode verificar isto a partir dos conceitos basicos de probabilidade consulte 1.
Calcule A2 e interprete. Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para nibblediego gmail. Para encontrar esse e outros exerccios resolvidos de matematica acesse: www. Suponha que um corretor da Bolsa de Valores faca um pedido para comprar acoes na segunda- feira, como segue: quotas de ac ao A, quotas da acao B e quotas da acao C. A resposta deve ser uma matriz 11, assim uma matriz deve ser da ordem 1a e outra a1. Ou seja, demos ter uma matriz 13 e outra 3x1.
Solu cao de b: Nesse caso basta trocar os valores da matriz P e em seguida realizar a multiplicacao. Se o time n ao melhor nem piorar, conseguira mais vitorias ou derrotas a longo prazo?
Observe que esta ultima matriz e regular quadrada e com possibilidade de inversao. Assim podemos aplicar o teorema 1. Numa pesquisa procura-se estabelecer uma correlacao entre os nveis de escolaridade de pais e filhos, estabelecendo as letras: P para os que concluram o curso primario; S para os que concluram o secund ario; e U para quem concluiu o curso universitario.
A probabilidade de um filho pertencer a um desses grupos, dependendo do grupo em que o pai esta, e dada pela matriz:. Qual a probabilidade de um neto, de um indivduo que concluiu o curso secundario, ser universit ario? A matriz do problema e a matriz de transicao de estado da cadeia de Markov.
Sendo assim, a matriz dos netos e dada pelo quadrado da matriz de transicao. Numa cidade industrial, os dados sobre a qualidade do ar sao classificados como satisfatorio S e insatisfat orio I. Essa ser a a matriz de transic ao do problema. No caso,. Usando o teorema 1. Numa ilha maravilhosa verificou-se que a cor azul ocorre em borboletas de genotipo aa, e n ao ocorre em Aa e AA.
Depois de algumas gerac oes, qual ser a a porcentagem das borboletas nao azuis, mas capazes de ter filhotes azuis? Denotando por d, dominante, r, recessivo e h, hibrido, e os respectivos cruzamentos por dXd, dXr, dXh, colocando as probabilidades em colunas, podemos montar a seguinte matriz de transic ao:. E pr a porcentagem de indivduos recessivos. Resolva o sistema de equac oes, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.
Vamos agora usar as operac oes de multiplicacao e soma nas linhas da matriz para resolver o sistema. Sendo assim, multiplicando L2 por k e depois subtramos L1 de L2. Pois a matriz tem 3 linhas n ao nulas. J a a nulidade, que e o numero de colunas da matriz menos o seu posto, e igual a 1. Como temos apenas duas linhas n ao nulas entao o posto e igual 2. Ja a nulidade sera 2. Como temos apenas duas linhas n ao nulas entao o posto sera 2. E a nulidade sera 1. O sistema acima possui duas inc ognitas, assim so necessitamos de duas linhas para resolve-lo.
Como desejamos descobrir o valor de k fazemos:. Onde observamos que as variaveis com maior grau de liberdade e x5 e x4. Assim, podemos usar qualquer uma delas para expressar as demais respostas. Para coincidir com o livro vamos usar x5. A nulidade e o numero de colunas subtrada do posto de uma matriz que deve estar na forma escalonada linha. Assim, para que a nulidade seja negativa e necessario que o posto seja maior que o numero de colunas da matriz. No entanto, o posto de uma matriz significa na pratica o numero de solucoes do sistema associado a ela.
Se cada coluna da matriz representa uma incognita do sistema nao faz nenhum sentido que o numero de soluc oes posto seja maior que o numero de colunas. Se isso fosse possvel teramos um sistema com mais solucoes que o numero de incognitas do mesmo. Foram estudados tres tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade 1g determinou-se que:.
Se s ao necess arias 11 unidades de vitaminas A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C;. Chega-se a soluc ao:. Todas as variaveis possui o mesmo grau de liberdade assim, podemos usar qualquer uma delas para escrever a soluc ao. Neste caso, vamos usar x2 , O grau de liberdade e a diferenca entre o numero de variaveis e o n umero de equacoes nao nulas na forma escada.
Posto: 3; Posto da matriz dos coeficientes: 2; Soluc ao: O sistema n ao tem solucao. O metodo de Gauss para resolucao de sistemas e um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor n umero de operacoes que envolve. As outras condicoes sao identicas. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a soluc ao final do sistema e obtida por substituicao. Por substituic 2 2. A matriz ampliada do sistema, ap os o escalonamento, e a seguinte: ver problema 14 x1 x2 x3 x4 0 0 x2 0 0 0 ; 0 0 x3 0 2 0 0 0 x4 2.
Note que os valores e x2 , Assim so nos resta definir o valor de x1. A matriz ampliada do sistema, ap os o escalonamento, sera:. Com base na ultima linha tornamos evidente que trata-se de um sistema impossvel, e por- tanto, sem soluc ao mesmo pelo metodo de Gauss.
Consulte 2. Chamamos de sistema homogeneo de n equacoes e m incognitas aquele sistema cujos termos independentes bi , s ao todos nulos.
Ja pela letra a z 1 1 uma soluc ao particular do sistema e. Atribua valores para x, y, z e w b Agora, resolva efetivamente o sistema, isto e, encontre sua matriz-solucao;.
Sugestao: siga as etapas seguintes, usando somente propriedades de matrizes. Solu cao: x1 Queremos mostrar que se Note que a equac ao matricial acima representa o seguinte sistema.
Observando a equac ao do sistema homogeneo notamos que a soma de todos os termos acom- panhados de yb com b 1, Assim podemos rescrever o sistema. Podemos observar que as quantidades de N e O em ambos os lados nao e a mesma. Se os coeficientes estequiometricos forem respectivamente x, y e z temos que:. A solucao generica desse sistema e:. Sabendo-se que a alimentacao diaria equilibrada em vitaminas deve constar de unidades de vitamina A, unidades de vitamina B, unidades de vitamina C, unidades de vitamina D e unidades de vitamina E.
Fixada a mesma quantidade 1g de cada alimento, determinou-se que:. Quantos gramas de cada um destes 5 alimentos I a V deve-se ingerir diariamente para se ter uma alimentac ao equilibrada? A primeira coluna refere-se a vitamina A, a segunda B e sucessivamente ate a E. Considere ainda que:. Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10m2 g de nitrato, g de fosfato e g de potassio.
Dispoe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes caractersticas:. Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 u. Os dados do problema est ao distribudos na proxima tabela. Custo Nitrato Fosfato Potassio x1 5 10 10 x2 6 10 30 x3 5 50 20 20 x4 15 20 40 Disp oe-se de uma tabela de precos de varios tipos de resistencias; assim como as correntes m aximas que elas suportam sem queimar.
Usando as tres equac oes do sistema acima e duas do sistema formando pela lei dos nos chegamos a um terceiro sistema que nos dara a solucao das correntes.
Ap os ser atingido o equilbrio termico, qual e a temperatura aproximada em cada ponto da placa? A temperatura em um ponto qualquer e aproximadamente a media dos pontos vizinhos.
Podemos multiplicar os dois lados da equacao por 4, e entao colocar as variaveis no lado esquerdo e as constantes no lado direito:.
Cujas soluc oes nos dar a as temperaturas dos pontos. Coment ario: Devido a facilidade de alguns exerccios deste captulo algumas respostas serao dadas sem muitas explicaco es. De o numero de invers oes das seguintes permutacoes de 1, 2, 3, 4, Portanto, os sinais s.
Quantas invers umeros 1, 2, Solucao: O numero de invers oes de uma permutacao tambem e o numero de inter-trocas necess arias para coloca-la em ordem natural.
Tome como por exemplo a permutacao 5, 4, 3, 2, 1. A troca do ultimo termo com o primeira resulta em 4 operacoes. Note que n ao e necess ario trocar o ultimo termo que agora e o 5.
Pensando de forma an umero de inversoes de n, Sejam A e B matrizes do tipo n n. Verifique se as colocacoes abaixo sao verdadeiras ou falsas. Logo a afirmativa e falsa. Propriedade: O determinante de uma matriz triangular Ann e igual ao produto dos elementos de sua diagonal. Sugest ao: Use e abuse do desenvolvimento de Laplace.
Tome a matriz M 5,5 a seguir. A demonstrac ao feita aqui foi para uma triangular superior, mas a demonstracao para a triangular inferior e an aloga e fica a cargo do leitor. Solu cao de b: 0. Prove isto, sem usar Se A ou B e uma matriz n determinantes. Logo, nao pode ser inversvel. A derivada do determinante e a soma dos determinantes das matrizes obtidas da original, diferenciando as linhas, uma por uma.
Basta aplicar a regra de Sarrus na matriz e desenvolver o lado direito da equacao para se chegar a conclus ao requerida. Pelas propriedades do deter- minante segue que:. Compare com 3, 6 e o Exerccio 18 do capitulo 2. Se o posto de A e igual a n ent ao A possui uma forma escalonada com n linhas nao nulas.
O que implica em todo elemento bii e o elemento a11 tambem serem diferente de zero caso contrario a matriz acima n ao estaria em sua forma escalonada. Pelo teorema de Jacobi o determinante de A coincide com o determinante da sua matriz escalonada n ao confunda com a matriz escalonada reduzida.
O que implicaria na existencia de pelo menos um elemento bii ou mesmo a11 nulo, o que e um absurdo, pois como vimos uma matriz n n de nulidade n possui os elementos de sua matriz escalonadas diferentes de zero. A partir do exerccio acima, voce pode concluir que uma matriz A, de ordem n, possui determinante diferente de zero se, e somente se A, tem n linhas linearmente independentes.
Por que? Veja o final da secc ao 2. Segundo a sec ao 2. Uma matriz A, com ordem n, tem n linhas linearmente independentes se, e somente se determinante de A e diferente de zero. A area do triangulo ser aa area do trapezio menos as areas dos 2 triangulos coloridos, isto e:.
O seu comandante manda voe substituir a 1 1 1 matriz chave por 1 1 0. Por que n ao ser a possvel a ele decodificar sua mensagem? Fazendo MC C1 chegamos a mensagem M. Lembrando que toda matriz cujo determinante e diferente de zero possui inversa, entao qual- quer matriz 4 4 com determinante n ao nulo e uma solucao para o problema.
Vale ressaltar que ao contrario do que coloca o autor esse metodo nao e usado na pratica, pois apresenta o mesmo nvel de quebra que a cifra de cesar exigindo maior custo computacional.
Seguindo essa convencao podemos escrever a resposta como:. Como R4 e um espaco vetorial podemos usar a definicao da pagina como ferramenta de prova. Primeiro tomamos um vetor u e v pertencentes a W. O mesmo resultado ocorre se fizermos a diferenca entre os dois u ltimos elementos. Assim, pode haver atrasos na postagem. O que implicaria no fato de A ser quadrada. A2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas compras. Calcule A2 e interprete. Assim podemos aplicar o teorema 1.
As demais matrizes ficam a cargo do leitor. Assim, podemos usar qualquer uma delas para expressar as demais respostas. Para coincidir com o livro vamos usar x5. Neste caso, vamos usar x2 , Consulte 2. Fixada a mesma quantidade 1g de cada alimento, determinou-se que: a o alimento I tem uma unidade da vitamina A, 10 unidades da vitamina B, 1 unidade da vitamina C, 2 unidades da vitamina D e 2 unidades da vitamina E; b o alimento II tem 9 unidades da vitamina A, 1 unidade da vitamina B, 0 unidades da vitamina C, 1 unidade da vitamina D e 1 unidade da vitamina E; c o alimento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de B, 5 unidade de C, 1 unidade de D e 2 unidades de E; d o alimento IV tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 2 unidades de D e 13 unidades de E; e o alimento V tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 9 unidades de D e 2 unidades de E.
Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 u.
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